بررسي کاربرد معادلات ديفرانسيل در مکانيک

معادلات ديفرانسيل توصيف کننده حرکت سيارات، که از قانون دوم حرکت نيوتن به دست مي آيند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت مي شوند. در مورد حرکت موشکها در نزديکي سطح زمين و در فضا، معادلات ديفرانسيل پيچيده ترند. براي حل آنها از روشهاي عددي به کمک کامپيوترهاي سريع و پيشرفته استفاده مي کنند. همچنين کامپيوتر به موتور موشک دستور مي دهد که چگونه و درچه زمان کار خود را آغاز کند تا موشک در مدار مناسب قرار گيرد. لزوم سرعت و دقت در اين گونه کاربردهاي کامپيوتري، انگيزه اي قوي براي پژوهش در زمينه سخت افزار و نرم افزار کامپيوتر به منظور توليد کامپيوترهاي سريعتر و قابل اعتمادتر بوده هست.

معادله ديفرانسيل معادله اي است که شامل يک يا چند مشتق يا ديفرانسيل باشد.

رده بندي معادلات ديفرانسيل

معادلات ديفرانسيل بر اساس ويژگي هاي زير رده بندي مي شوند

نوع عادي يا جزئي

مرتبه که عبارت است از مرتبه مشتقي که بالاترين مرتبه را در معادله دارد)؛

درجه نماي بالاترين توان مشتقي که بالاترين مرتبه را در معادله دارد، پس از حذف مخرج کسرها و راديکالهاي مربوط به متغير وابسته و مشتقاتش

وقتي متغير وابسته،مانند y تابعي از تنها يک متغير مستقل مانند x باشد، فقط مشتقات «عادي» در معادله ظاهر مي شوند.

کاربردها

يکي از مهمترين کاربردهاي معادلات ديفرانسيل در مطالعه ارتعاش است که مثال معروف آن حرکت فنر است. در شکل مقابل فنري به طول طبيعي L را بوسيله وزنه W به اندازه s واحد ميکشيم.سپس فنر رابه اندازه a واحد ديگر ميکشانيم وآنرا رها ميکنيم تابه ارتعاش در آيدوضعيت وزنه در هر زمان پس از آن با يک معادله ديفرانسيل توصيف ميشود.

البته مسائل فيزيکي زيادي بعد از فرمول بندي آنها به زبان رياضي به معادلات ديفرانسيل منجر مي شوند به عنوان مثالي ديگر دستگاه معادلات ديفرانسيل زير حرکت پرتابه اي را (بدون در نظر گرفتن مقاومت هوا) توصيف مي کند:

در واقع، يکي از منابع عمده معادلات ديفرانسيل در مکانيک قانون دوم نيوتن است که در آن Fبرايند نيروهاي وارد بر جسمي به جرم mو سرعت V است:

مثالي از رشته سينتيک شيميايي واکنش دهنده اي چون Aاست که در تبديلاتي موازي با سرعتهايي متناسب با مقدار A موجود در لحظه tبه دو فراورده BوC تبديل مي شود.اگرx، y ،z مقاديرA، B،C در لحظه t باشند،آنگاه معادلات ديفرانسيلي که اين فرايند را توصيف ميکنند عبارتند از:

واکنش دهندهA باآهنگهايي متناسب با مقدار

موجود A ،فراورده هايBو C را توليد ميکند

جواب معادله

تابعي چون راجواب معادله ديفرانسيل نامند اگر چنانچه در معادله ديفرانسيل مزبور y را به جاي (f(x قرار دهيم و به جاي مشتقات مربوط به y ،مشتقات متناظر (f(x را قرار دهيم،معادله برقرار بماند. مثلا اگر و مقادير ثابتي باشند،آنگاه



جوابي براي معادله ديفرانسيل زير است:

مساله اي فيزيکي به صورت يک معادله ديفرانسيل در مي آيد، معمولا شامل شرايطي اضافي هم هست که به وسيله خود معادله ديفرانسيل بيان نمي شوند. مثلاً، در مکانيک معمولا هم مکان و سرعت اوليه جسم متحرک و هم نيروها به طور جداگانه مشخص مي شوند. معادله يا معادلات ديفرانسيل حرکت، معمولا جوابهايي دارند و ثابتهاي دلخواهي را در برميگيرند. از اين رو به اين ثابتهاي دلخواه مقادير خاصي نسبت مي دهند تا شرايط اوليه توصيف شده برآورده شوند.