بررسي مفهوم انتگرال و رياضيات آن(انتگرال گيري و تئوري تابع پيچيدگي و انتگرال هاي مركب)

فصل ششم :

انتگرال گيري :

1 . 6 ) انتگرال گيري Riemann – Stieltje

فرض کنيد که f يک تابع کران دار در محدوده ي [a,b] مي باشد. اگر D يک فسمتي از [a,b] باشد مي دهد :

پس

سپس مجموع اين دو معادله مي دهد

(11 . 6)

و تقريب زدن با انتگرال گيري Riemann مي دهد، زمانيکه آن در (4 – 123 و C1 ) وجود دارد.

در گستره ي بيشتر از اين فرآيند را مي توان در کارهاي Stieltjes مشاهده کرد، وي معرف دومين تابع مي باشد يعني g ، فرض بر افزايش [a,b] ( در يک محدوده ي کران دارد) و جايگزيني در (11 . 6) توسط . اين روش جديد منجر به انتگرال گيري از f با محدوده ي g مي گردد. و جمع بستن اين معادله با (11 . 6) مي دهد.

(12 . 6)

(13 . 6)

آنها با کم کردن (11 . 6) زمانيکه را به دست مي آورند.

تشخيص کمترين و بيشترين مقدار f(x) در ضابطه ي [a,b] توسط M , m ، ما خواهيم داشت :

پس براي تمام تجزيه هاي D ، کمترين جمع بندي (12 . 6) و بالاترين جمع ها شامل (13 . 6) خواهد بود راحت است که شاهد معرفي روش هاي جديد در افزايش پايين ترين و بالاترين و کم شدن آنها در جمع باشيم. (ببينيد تمرين 6(a).1 . از اين به بعد که ماتزل جمع را کمتر از يا برابر با هر صعود جمعي در نظر مي گيريم. براي هر محدوده اي از [a,b] را درنظر مي گيريم. اگر حالا، D محدوده ي بين تمام روش هاي مشاهده شده درنظر بگيريم را داريم.

پس

P 140 :

تعريف . نوشتن و

در جائيکه صعودي و نزولي تمام محدوده ي D از [a,b] مي باشد. اولين توضيح در مورد پايين ترين انتگرال از f با مراجعه به g در [a,b] مي دهد دومين انتگرال است بالا (صعودي).

توجه داشته باشيد که در جايي که f يک محدوده بين [a,b] و g است در حال افزايش خواهد بود، همچنين توسط (14 . 6)

تعريف : اگر

F گفته مي شود که با رابطه ي g در محدوده ي [a,b] انتگرال گيري مي شودو ارزش عمومي صعودي و نزولي انتگرال گيري ها، مشخص مي شود توسط :

که اين رابطه به نام Riemann و يا (RS) ناميده مي شود. که به معني انتگرال گيري f با رابطه ي g مي باشد.

تابع g انتگرال گير ناميده مي شود، و تابع f انتگرال ده.

کلاس تابع قابل انتگرال خواهد بود با رابطه ي g در محدوده [a,b] که توسط R(g.a.b) مشخص مي شود.

بهتر است با کامل کردن تابع RS , f که توسط انتگرال گيري به دست مي آيد.

(زمانيکه دست راست وجود داشته باشد) و

(براي تمام تابع هاي f , g ).

زمانيکه انتگرال گيري RS نزول مي کند به انتگرال گيري Riemann . تابع Riemann انتگرال گيري مي شود در (123) C1 که تقريباً با انتگرال گيري هاي قبلي که صعودي و نزولي داشتيم در اين جا نداريم اما تعادل دو تابع در واحد 72 . 6 ثابت خواهد شد. دو تابع مفيد هستند، مرتبه ي تابع انتگرال Riemann در محدوده ي [a,b] توسط R (a,b) مشخص خواهد شد. و صعودي و نزولي بودن Riemann توسط s(D,f) . s(D,f) جمع بندي خواهد شد.